Как рассчитать два стандартных отклонения от цены акций?

Первый подход

Формула стандартного отклонения равна довольно просто как в дискретном, так и в непрерывном случаях. Наиболее безопасно использовать дискретный случай при работе с скорректированными ценами закрытия. После вычисления среднеквадратического отклонения за заданный период времени, следующей задачей (в простейшем случае) является вычисление среднего значения этого же периода. Это позволяет приблизительно аппроксимировать распределение, что может дать всевозможные проверяемые гипотезы. При этом даются два стандартных отклонения (σ) от среднего (μ):

Variable | Obs Mean Std. Dev. Min Max
-------------+--------------------------------------------------------
    adjclose | 15946 424.4896 481.9309 16.66 1667.47

Не имеет смысла говорить о “двух стандартных отклонениях от цены”, если только эта цена не является средней или какой-то другой статистикой _ за данный период времени_. Обычно вы смотрите на то, насколько далека цена от среднего, например, падает ли цена на два-три стандартных отклонения от среднего или на какой-нибудь другой технический индикатор, например, Average True Range (экспоненциальное скользящее среднее True Range), на какой-нибудь уровень поддержки, на другой уровень безопасности и т.д.

Для большей части этого ответа, я предполагаю, что мы используем среднее за выбранный период времени в качестве базы. Однако, ответ все еще более сложный, чем многие думают. Как я уже говорил, чтобы рассчитать стандартное отклонение, необходимо определиться с временным периодом. Например, вы можете использовать данные S&P 500 из Yahoo Finance и рассчитать стандартное отклонение для всех скорректированных цен закрытия с 3 января 1950 года. Загрузка данных в Stata и применение команды summarize дает мне:

Variable | Obs Mean Std. Dev. Min Max
-------------+--------------------------------------------------------
    adjclose | 5892 973.4622 376.8612 295.46 1667.47

Проблема

Как вы, вероятно, видите, эти числа не имеют особого смысла. Глядя на данные, мы видим, что S&P 500 не торгуется вблизи 424.4896 с ноября 1992. Очевидно, что это среднее и стандартное отклонение не является репрезентативным для текущих рыночных условий. Более того, эти числа означают, что S&P 500 в настоящее время торгуется почти на третьих стандартных отклонениях от своего среднего значения, что для многих распределений является крайне маловероятным событием. Великая рецессия, количественное смягчение и т.д., возможно, существенно изменили рынок, но не в такой степени.

Проблема возникает из-за того, что цены на ценные бумаги обычно нестационарные. . Это означает, что базовое распределение, из которого “черпаются” цены ценных бумаг, сдвигается во времени и пространстве. Например, цены могут быть нормально распределены в 50-е годы, затем гамма распределена в 60-е годы из-за шока, а затем нормально распределены снова в 70-е годы. Это означает, что вычисление суммарной статистики, например, среднего, стандартного отклонения и т.д., по сути, не имеет смысла для периодов времени, в течение которых цены могли бы следовать множественным распределениям.

Решение

По этой и другим причинам стандартной практикой является рассмотрение стандартного отклонения возвратов или различия вместо цен. Я подробно рассказал о причинах этого и о различных процедурах, которые можно использовать в другом ответе . Короче говоря, можно вычислить разницу для каждого периода, которая является всего лишь разницей между ценой закрытия этого периода и ценой закрытия предыдущего периода. Это обычно даст вам стационарный процесс, из которого вы сможете получить более значимые значения стандартного отклонения, среднего и т.д.

Давайте снова используем S&P500 в качестве примера. На этот раз, однако, я использую данные, начиная с 1990 года, только для простоты (и для того, чтобы сделать графики немного более управляемыми). Сводная статистика выглядит так:

Variable | Obs Mean Std. Dev. Min Max
-------------+--------------------------------------------------------
    adjclose |
         D1. | 4618 .2036014 12.09178 -90.16998 91.59003

и график выглядит так; средняя - это центральная горизонтальная красная линия, а верхняя и нижняя линии указывают на одно стандартное отклонение выше и ниже средней соответственно.

insheet using "http://ichart.finance.yahoo.com/table.csv?s=%5EGSPC&d=4&e=20&f=2013&g=d&a=0&b=3&c=1950&ignore=.csv", comma clear
gen int d = date(date, "YMD")
drop date
rename d date
tsset date, daily

summ adjclose if year(date) > 1989

tsline adjclose if year(date) > 1989, ///
    title("Daily adjclose in S&P500, 1990 onwards", size(small)) ///
    caption("money.stackexchange.com", size(vsmall) pos(5)) ///
    tlabel(01jan1995 01jan2000 01jan2005 01jan2010, labsize(vsmall)) ///
    ylabel(, labsize(vsmall)) ///
    xlabel(, labsize(vsmall)) ///
    yline(973.4622) ///
    yline(1350.3234) ///
    yline(596.601)

summ D.adjclose if year(date) > 1989

tsline D.adjclose if year(date) > 1989, ///
    title("Daily {&Delta}adjclose in S&P500, 1990 onwards", size(small)) ///
    caption("money.stackexchange.com", size(vsmall) pos(5)) ///
    tlabel(01jan1995 01jan2000 01jan2005 01jan2010, labsize(vsmall)) ///
    ylabel(, labsize(vsmall)) ///
    xlabel(, labsize(vsmall)) ///
    yline(.2036014) ///
    yline(12.2953814) ///
    yline(-11.8881786)

Как видите, график, похоже, указывает на то, что были длительные периоды, в течение которых индекс ценился далеко за пределами этого диапазона. Несмотря на то, что это может быть так, график определенно демонстрирует тенденцию, наряду с некоторыми, казалось бы, экзогенными шоками (см. мой связанный с этим ответ).

Однако, если взять первую разницу, то можно получить эту обобщенную статистику:

с таким графиком:

Это выглядит намного разумнее. В периоды рецессии цена выглядит гораздо более волатильной, и она нарушает +/- одну стандартную линию отклонения, указанную на графике.

Это всего лишь простая сводка, но использование первых отличий как части более широкого процесса детрендинга/декомпозиции временного ряда является хорошим первым шагом.

Скользящие средние/Боллинджерские полосы

Для некоторых технических индикаторов, однако, стационарность не так актуальна. Это касается некоторых типов скользящих средних и связанных с ними индикаторов. Возьмем, например, Bollinger bands . Это технические индикаторы, которые показывают ряд стандартных отклонений выше и ниже скользящей средней. Так же, как и любой расчет стандартного отклонения,Скользящее среднее, статистика и т.д. требуют данных за определенный период времени. Аналитик выбирает определенное количество исторических периодов, например, 20, и вычисляет скользящее среднее за многие предыдущие периоды, а также скользящее/прокручивающее стандартное отклонение за те же периоды. Полосы Боллинджера представляют собой значения определенного числа стандартных отклонений от скользящего среднего в определенный момент времени. В данный момент времени можно рассчитать два стандартных отклонения “в сторону от значения”, но для этого все равно требуется историческая цена акции (или, по крайней мере, историческое скользящее среднее). Если вы получите цену только в одиночку, то вам не повезет. Скользящие средние

Скользящие средние могут косвенно обойти некоторые из вопросов стационарности, которые я описал выше, потому что это просто оценить временной ряд с процессом, построенным от скользящего среднего (в частности, авторегрессивный процесс скользящего среднего ), но эконометрика временного ряда является темой для другого дня.

Код

Код Stata, который я использовал для генерации графиков и сводной статистики:

Стандартное отклонение - это математический термин, который полезен во многих областях. Его можно рассматривать как меру того, насколько точные данные близки к усредненному. Если существует согласованность в системе измерений, то точка, которая является двумя стандартными точками от среднего, может рассматриваться как отклонение. Это даже не обязательно должно быть основано на времени. Можно сказать, что ребенок, родившийся с весом менее X фунтов, имеет более 2 стандартных отклонений от среднего.

Использование его для анализа цены или значения индекса не имеет большого смысла, потому что многие ожидают долгосрочного роста. Например, вы никогда не скажете, что вы купите новый пиджак для вашего ребенка, когда они являются двумя стандартными отклонениями выше их среднего роста.

Вы можете сказать, что купите или продадите финансовый инструмент, когда соотношение P/E составляет 2 стандартных отклонения от некоторого среднего. Это может быть среднее значение долгосрочной истории, или индекс, или сектор. То же самое можно сказать и о доходах на акцию или о многих других видах финансовой статистики.

Стандартное отклонение, вычисленное из временного ряда, предполагает, что измерение, как правило, будет оставаться на некотором уровне. И это отклонение от этих границ является признаком правильного времени для покупки или продажи.