Какова средняя лог-доходность акций?

Бревенчатые возвраты очень часто используются в финансовой математике, особенно в количественном финансировании. Важным свойством является то, что они симметричны около 0 по отношению к добавлению.

Это свойство делает possible говорить о среднем возврате.

Например, если акция падает на 20% в течение определенного периода времени, она должна набрать 25%, чтобы вернуться туда, откуда вы начали. Для лог-дохода, с другой стороны, числа 0.223 вниз за период времени, и 0.223 вверх, чтобы вернуть вас в квадрат 1.

В этом смысле, вы можете просто взять среднее арифметическое и это имеет смысл. Вы можете свободно складывать или вычитать значения на шкале возврата лога, например, процентные ставки лога или коэффициенты инфляции лога. В то время как среднее арифметическое (не лог) возвратов просто бессмысленно: Акции с доходностью -3% и +3% имели бы в среднем 0%, в то время как на самом деле акции упали в цене?

Правильным подходом к прямым ценовым доходам было бы взять другое среднее (например, геометрическое), чтобы получить приличную среднюю. И все же будет сложно включить в него другую информацию, например, вычитание безрисковой ставки или уровня инфляции, чтобы получить скорректированную по курсу среднюю доходность.

Вкратце: Лог-доходы легче обрабатывать в вычислительном плане, например, оптом, но не лог-доходы легче воспринимать/воображать в виде числа своих собственных.

Наверное, лучший способ расследовать это - посмотреть на пример. Во-первых, как уже говорили вышеприведенные комментаторы, возвратом лога из одного периода является лог (цена в момент времени t/цена в момент времени t-1), что примерно равно процентному изменению цены в момент времени t-1 в момент времени t, при условии, что это процентное изменение не велико по сравнению с размером цены. (Обратите внимание, что необходимо использовать натуральный лог, т.е. лог к кнопке базы e – ln на калькуляторе – здесь).

Основное использование возврата лога - это прокси для процентного изменения цены, что оказывается математически удобным, по разным причинам, которые в основном уже упоминались в комментариях.

Но вы уже знаете это, ваш реальный вопрос - о средней доходности лога за определенный период времени. Что это говорит об акции?

Ответ такой: если цена акций не очень сильно меняется, то средняя лог-доходность примерно равна среднему процентному значению изменения цены, и очень легко и быстро вычисляется. Но если цена акций очень волатильна, то средняя лог-доходность может сильно отличаться от среднего процентного изменения цены.

Вот пример: цены закрытия Pitchfork Oil с прошлой недели: 10, 5, 12, 5, 10, 2, 15. Процентные изменения: -0.5, 1.4, -0.58, 1, -0.8, 6.5 (где -0.5 означает -50% и т.д.) Среднее процентное изменение составляет 1.17, или 117%. С другой стороны, доходность лога за тот же период составляет -0.69, 0.88, -0.88, 0.69, -1.6, 2, а средняя доходность лога - около 0.068. Если бы мы использовали его в качестве прокси для среднего процентного изменения цены за все семь дней, мы бы получили 6.8% вместо 117%, что крайне неправильно. Причина, по которой это неправильно, заключается в том, что цена так сильно колебалась.

С другой стороны, цены закрытия United Marshmallow за тот же период составляют 10, 11, 12, 11, 12, 13, 15. Среднее дневное процентное изменение составляет 0,073, а средняя доходность лога - 0,068, поэтому в данном случае доходность лога очень близка к процентному изменению. И его преимущество в том, что он может быть вычислен только из первой и последней цены, так как свойства логарифмов подразумевают, что он упрощается до (log(15)-log(10))/6. Заметьте, что это в точности то же самое, что и для Pitchfork Oil.

Таким образом, одна из причин, по которой вас может заинтересовать средняя логарифмическая доходность, заключается в том, что она дает очень быстрый способ оценить среднюю доходность, если цена акций не очень сильно меняется.

Другая, более тонкая причина, заключается в том, что она на самом деле ведет себя лучше, чем процентная доходность. Когда цена Pitchfork скачет с 5 до 12, а затем снова падает до 5, процентные изменения составляют +140% и -58%, в среднем +82%. Звучит неплохо, но если бы вы купили его по 5, а потом продали по 5, вы бы на самом деле заработали 0% на своих деньгах. Лог-доходы за тот же период не имеют этого тревожного свойства, потому что они действительно складываются до 0%.

Какая реальная разница в этом примере? Ну, если бы вы купили Pitchfork на 1 доллар во вторник, когда ему было 5, и продали его в среду, когда ему было 12, вы бы получили прибыль в размере 1,40 доллара. Если бы вы затем купили еще 1 доллар в среду и продали его в четверг, вы бы потерпели убыток в размере 0,58 доллара. В целом, ваша прибыль составила бы 0,82 доллара. Вот как рассчитывается средняя процентная доходность.

С другой стороны, если бы вы были долгосрочным инвестором, который купил во вторник и продержался до четверга, то цитирование “средней доходности” 82% сильно вводит в заблуждение, потому что оно ни в коем случае не соответствует доходности 0%, которую вы на самом деле получили!

Мораль в том, что может быть лучше посмотреть на возврат лога, если вы являетесь инвестором типа “купить и держать”, потому что возврат лога отменяется, когда цены колеблются, в то время как процентные изменения в цене не происходят. Но обратная сторона заключается в том, что ваш средний лог-доход за определенный период времени не дает вам много информации о том, что делали цены, так как это просто (лог (конечная цена) - лог (начальная цена))/количество периодов. Так как так легко вычислить сами по начальной и конечной ценам, вы, как правило, не увидите этого на финансовых страницах, насколько я знаю.

Наконец, ответьте на ваш вопрос: “Узнав эту единственную информацию, можно ли что-то сказать об акциях?”, я бы сказал: не совсем. С точки зрения этого одного индикатора, Pitchfork Oil и United Marshmallow выглядят как идентичные инвестиции, когда они явно не являются таковыми. Знание средней лог-доходности в точности равнозначно знанию соотношения между конечной и начальной ценой.

Знание журнальной доходности полезно - журнальная доходность может помочь вам рассчитать годовую доходность за период, в течение которого она была оценена - и это должно быть сопоставимо между акциями.

Нужно просто быть внимательным при расчете, чтобы разумно было учитывать дивиденды.