Применяется ли модель Black-Scholes к опциям American Style?

Разница между американским и европейским опционом заключается в том, что американский опцион может быть исполнен в любое время, в то время как европейский опцион может быть ликвидирован только на дату расчетов. Американский опцион является инструментом “непрерывного времени”, в то время как европейский опцион - инструментом “точки времени”. К последнему, европейскому опциону, применяется Блэк Шоулз. При “определенных” (но ни в коем случае не всех) обстоятельствах они достаточно близки, чтобы рассматриваться как заменяющие друг друга.

Один из их учеников, Роберт Мертон, “подправил” его, чтобы описать американские опционы. Об этом, как и о других тонкостях, много лет спустя ведутся дебаты.

Блэк-Шоулз “достаточно близко” для американских вариантов, так как обычно нет причин делать упражнения раньше, поэтому умение делать это не имеет значения. Что хорошо, так как математически моделировать сложно, я читал.

Ранняя тренировка обычно вызвана странной ценовой ошибкой по какой-то технической/рыночной причине, когда теоретические оценки опционов запутаны. Если, например, вы продаете колл, который находится далеко в деньгах и не получает никакой временной стоимости (после спреда), то, скорее всего, вы продали колл трейдеру, который только собирается его осуществить. Но такие необычные вещи не сильно меняют общую картину.

Всего несколько наблюдений в рамках Блэка-Шоулза:

• американские звонки имеют ту же цену, что и европейские звонки на активы, не выплачивающие дивиденды.
• Форма формула Блэка-Шоулза применима только к европейским опционам (и, согласно вышесказанному, к американским звонкам на активы, не выплачивающие дивиденды).
• По паритету “колл-пут”, если у вас есть европейские цены на колл по некоторым датам истечения срока действия и забастовкам, у вас также есть европейские цены на колл-пут по этим датам истечения срока действия и забастовкам.
  
• Если у вас европейские цены вызова на определенный срок T для всех забастовок, вы можете легко рассчитать цену любого “европейского” платежа за этот срок (например, цифровой вызов V = 1_{S>K}, или параболы V = S^2, или что-то в этом роде). Концептуально вы формируете спреды бабочек \_/_ для серии увеличивающихся забастовок, и они дают вам “нейтральную с точки зрения риска” вероятность того, что вы окажетесь там, а затем вы просто интегрируетесь поверх своего выигрыша.

Next, теперь вы можете использовать рамки Блэка-Шоулза (цена акции - это геометрическое броуновское движение, нет транзакционных издержек, единая процентная ставка и т.д. и т.п.) и численные методы (такие как PDE solver), чтобы оценивать опционы американского стиля численно, но не с помощью простой формулы закрытой формы (хотя есть и аппроксимации закрытой формы).

Небольшой тангенс. Можно утверждать, что S&P имеет среднюю доходность, скажем, 10%, а стандартное отклонение, скажем, 14% или около того, но когда вы запускаете с этим, вы обнаруживаете, что фактическая доходность не так уж близка к стандартной колокольной кривой. Аномалии рынка, порождающие “100-летнее наводнение”, встречаются гораздо чаще, чем прогнозировалось даже за 20-летний период. Это просто означает, что модель не отражает реальность на хвостах, даже если +/- 2 стандартных отклонения выглядят симпатично.

Это относится и к Black-Sholes (я почти сократил его до инициалов, затем подумал, что лучше, мне на самом деле нравится модель). Различие между американским и европейским достаточно мало, что точность модели шире, чем разница этих двух опционных стилей. Я считаю, что если посмотреть на модель и фактическое ценообразование, то можно определить волатильность той или иной акции, используя цены вокруг цены исполнения, но когда вы затем моделируете опционы, которые не имеют денег, вы часто находите, что рынок создает свою собственную оценку.

Да, ваше понимание верно. Строго говоря, модель Блэк-Шоулз используется для ценообразования европейских опционов. Однако выплата (цена) европейских и американских опционов достаточно близка и может быть использована в качестве аппроксимации, если по базовому активу не выплачиваются дивиденды, а стоимость ликвидности близка к нулю (например, в сценарии с очень низкими процентными ставками).

На данный момент не существует закрытых методов ценообразования американских опционов. По крайней мере, ни один из них мне не известен. Вы должны полагаться на решетки для многопериодного биномиального ценообразования , которое в большинстве случаев является рекурсивным.

так как нет преимущества от того, что американский колл-опцион должен быть выполнен раньше, мы можем использовать формулу Black schole для оценки опциона. Однако, американский пут-опцион, скорее всего, будет выполнен раньше, что означает, что Black schole не применяется для этого стиля опциона.